Modelado financiero entrópico metafórico
En la portada de sus Fundamentos del análisis económico (1947), Paul Samuelson citó a Gibbs diciendo: “Las matemáticas son un lenguaje.” Eso es ciertamente. Pero en el caso de la entropía de Shannon, así como en los modelos financieros basados en las matemáticas de la entropía, es una metáfora más que una ontología lingüística.
Basándose en muchas discusiones de varios economistas, Schinkus (2009) argumenta que los economistas están más inclinados que los economistas habituales a abordar los datos sin ideas preconcebidas sobre distribuciones o valores de parámetros, aunque pueden estar más inclinados a basarse en ideas de la física, con entropía entre las relacionadas con la modelización financiera. Así, Dionosio et al. (2009, pag. 161) argumentan que:
“La entropía es una medida de dispersión, incertidumbre, desorden y diversificación utilizada en procesos dinámicos, en estadística y teoría de la información, y se ha adoptado cada vez más en la teoría financiera.”
Las aplicaciones de la ley de la entropía usando entropía de Shannon o distribuciones de Boltzmann-Gibbs encajan fácilmente en distribuciones explicativas o de modelado que se basan en la lognormalidad, que son fácilmente consistentes con los enfoques gaussianos. Si bien sabemos que, en última instancia, estas entropías son esencialmente idénticas matemáticamente, la diferencia real es que creemos que está impulsada a la maximización como una ley de la física, mientras que en las más metafóricas observar un extremo de la entropía es simplemente una condición matemática útil.
Alguien que aproveche las dos medidas principales de entropía para desarrollar la teoría financiera central en la forma de la fórmula de fijación de precios de opciones de Black-Scholes (1973) es Michael J. Stutzer (1994, 2000). En el segundo de estos usó la entropía de Shannon para su generalización del vínculo, después de señalar que Cozzolino y Zahneri (1973) había utilizado la entropía de Shannon para derivar distribuciones logarítmicas normales del precio de las acciones, el mismo año en que Black y Scholes (1973) publicaron su resultado sin depender directamente de ninguna matemática de entropía. Por su generalización Stutzer (2000) planteó el problema en forma discreta al considerar un proceso de precio de mercado de valores dado por
\[\Delta p / p=\mu \Delta t+\sigma \sqrt{\Delta t \Delta z}\]
donde p es el precio, t es el intervalo de tiempo , y el segundo término en el lado derecho es el choque al azar, con estos distribuido ~ N (0, ? t ). Con Q como cantidad, rΔt la tasa libre de riesgo de retorno, y P la distribución real densidad riesgo condicional, un foco central es el riesgo condicional neutral dada por d Q / d P .
A partir de estos, se considera la entropía relativa que minimiza la densidad neutral al riesgo condicional que en efecto maximiza el orden
\[\arg \min _{\mathrm{d} Q / \mathrm{d} P} \int \log \mathrm{d} Q / d P d Q\]
sujeto a una restricción de martingala dada por
\[r \Delta t-E[(\Delta p / p)(d Q / d P]=0\]
A partir de esto, muestra que cuando los rendimientos de los activos son IID con choques distribuidos normalmente como se indica anteriormente, la densidad del producto martingala formada a partir de la entropía relativa que minimiza el riesgo condicional es la que se usa para calcular la fórmula de fijación de precios de opciones de Black-Scholes. Reconoce que esto no se generaliza fácilmente a distribuciones no gaussianas, como las de la ley de potencias, muy estudiadas por los economistas, lo que sugiere un enfoque más débil utilizando procesos heterocedásticos condicional auto regresivos generalizados (GARCH).