Conocimiento y ergodicidad

Un tema controvertido que involucra el conocimiento y la complejidad involucra las fuentes profundas de la idea de Keynes-Knight de la incertidumbre fundamental (Keynes 1921; Caballero1921). Ambos dejaron en claro que para la incertidumbre no existe una distribución de probabilidad subyacente que determine eventos importantes sobre los que los agentes deben tomar decisiones. La formulación de Keynes de esto ha provocado mucha discusión y debate sobre por qué vio surgir esta falta de distribución de probabilidad.

Una teoría que ha recibido mucha atención, debido a Davidson (1982-83), es que si bien ni Keynes ni Knight lo mencionaron nunca, lo que puede provocar tal incertidumbre, especialmente para la comprensión de Keynes, es la aparición de noergodicidad en los procesos dinámicos subyacentes a la realidad económica. Al hacer este argumento, Davidson citó específicamente los argumentos de Paul Samuelson (1969, pag. 184) en el sentido de que “la economía como ciencia asume el axioma ergódico.” Davidson se basó en esto para afirmar que el fracaso de este axioma es una cuestión ontológica que es fundamental para comprender la incertidumbre keynesiana, cuando el conocimiento se rompe. Muchos han repetido desde entonces este argumento, aunque Álvarez y Ehnts (2016) argumentan que Davidson malinterpretó a Samuelson, quien en realidad rechazó este punto de vista ergódico por estar vinculado a un punto de vista clásico más antiguo que él no aceptó.

El argumento de Davidson ha sido criticado más recientemente por varios observadores, quizás más enérgicamente recientemente por O’Donnell (2014-15), quien argumenta que Davidson ha tergiversado la hipótesis ergódica, que Keynes nunca la consideró y que la incertidumbre keynesiana es más una cuestión de inestabilidades a corto plazo que deben entenderse utilizando la economía del comportamiento en lugar de los elementos asintóticos vinculados a la ergodicidad. Un argumento importante de O’Donnell es que incluso en un sistema ergódico que va a pasar a un estado estacionario a largo plazo, puede estar fuera de ese estado durante un período de tiempo tan largo que uno no podrá determinar si es ergódico o no. Este es un fuerte argumento al que Davidson no ha logrado responder completamente (Davidson2015).

Para esto es fundamental comprender la hipótesis ergódica en sí misma y su desarrollo y límites, así como su relación con los propios argumentos de Keynes, que resulta algo complicado, pero de hecho vinculado a preocupaciones centrales de Keynes de manera indirecta, especialmente dado que nunca lo mencionó directamente. La mayoría de los economistas que discuten este asunto, incluidos Davidson y O’Donnell, han aceptado como definición de un sistema ergódico que a lo largo del tiempo (asintóticamente) sus “promedios espaciales son iguales a sus promedios temporales.” Esta formulación se debió a Ehrenfest y Ehrenfest-Afanessjewa (1911), con Paul Ehrenfest alumno de Ludwig Boltzmann (1884) quien expandió el estudio de la ergodicidad (y acuñó el término) como parte de su largo estudio de la mecánica estadística, particularmente cómo un promedio agregado a largo plazo (como la temperatura) podría emerger de un conjunto de partes dinámicamente estocásticas (movimientos de partículas). Resulta que a pesar de su amplia influencia, la formulación precisa de los Ehrenfests era inexacta (Uffink2006). Pero esto reflejaba que había múltiples vertientes en el significado de “ergodicidad.”

De hecho, existe un debate en curso sobre cómo Boltzmann acuñó el término en primer lugar. Su alumno, Ehrenfest, afirmó que era por combinar el griego ergos (“trabajo”) con hodos (“camino”), mientras que Gallavotti (1999) que vino de él usando su propio neologismo, monode , que significa una distribución estacionaria, en lugar de hodos . Esto encaja con la mayoría de las primeras formulaciones de ergodicidad que lo analizaron dentro del contexto de distribuciones estacionarias.

Las discusiones posteriores sobre la ergodicidad se basarían en dos teoremas complementarios probados por Birkhoff (1931) y von Neumann (1932), aunque este último se probó primero y enfatiza la preservación de la medida, mientras que la variación de Birkhoff fue más geométrica y relacionada con las propiedades de recurrencia en sistemas dinámicos. Ambos implican convergencia a largo plazo, y la formulación de Birkhoff mostró no solo la preservación de la medida, sino que para un sistema ergódico estacionario una indecomponibilidad métrica tal que no solo se llena el espacio correctamente, sino que es imposible dividir el sistema en dos que también lo harán completamente. llenar el espacio y preservar la medida, resultado que extiende la obra fundamental de Poincaré (1890) sobre cómo la recurrencia y el llenado del espacio ayudan a explicar cómo pueden surgir dinámicas caóticas en la mecánica celeste.

En von Neumann’s (1932) formulación sea T una transformación que preserva la medida en un espacio de medida con para cada función f integrable al cuadrado en ese espacio, ( Uf ) ( x ) = f ( Tx ), entonces U es un operador unitario en el espacio. Para cualquier operador unitario U en un espacio de Hilbert H , la secuencia de promedios:

\[(1 / n)\left(f+U f+\cdots+U^{n-1} f\right)\]

está fuertemente convergente para cada f en H . Observamos que estos son espacios de medida finita y que esto se refiere a sistemas estacionarios, al igual que con Boltzmann.

Birkhoff’s (1931), a veces llamado el “teorema ergódico individual,” modifica la secuencia anterior de promedios para ser:

\[(1 / n)\left(f(x)+f(T x)+\cdots+f\left(T^{n-1 x}\right)\right)\]

que convergen para casi todas las x . Estos teoremas complementarios se han generalizado a los espacios de Banach y a muchas otras condiciones. 23 Fue a partir de estos teoremas que evolucionaría la próxima ola de desarrollos en Moscú y en otros lugares. 24 Este era el estado de la teoría ergódica cuando Keynes tuvo su debate sobre la econometría a fines de la década de 1930 con el alumno de Paul Ehrenfest, Jan Tinbergen.

El vínculo entre la estacionariedad y la ergodicidad llegaría a debilitarse en un estudio posterior, con Malinvaud (1966) mostrando que un sistema estacionario podría no ser ergódico, con un ciclo límite como ejemplo, con Davidson consciente de este caso desde el comienzo de sus discusiones. Sin embargo, se siguió creyendo que los sistemas ergódicos debían ser estacionarios, y esto siguió siendo una clave para Davidson, además de ser aceptado por la mayoría de sus críticos, incluido O’Donnell. Sin embargo, resulta que esto puede romperse en sistemas caóticos ergódicos de dimensión infinita, que pueden no ser estacionarios (Shinkai y Aizawa2006), que recupera el papel de la dinámica caótica en socavar la capacidad de lograr el conocimiento de un sistema dinámico, incluso uno que es ergódico.

Dadas estas complicaciones, vale la pena volver a Keynes para comprender cuáles eran sus preocupaciones, que salieron más claramente en sus debates con Tinbergen (1937, 1940; Keynes,1938) sobre cómo estimar econométricamente modelos para pronosticar la dinámica macroeconómica. Una profunda ironía aquí es que Tinbergen fue alumno de Paul Ehrenfest y, por lo tanto, fue influenciado por sus ideas sobre la ergodicidad, incluso cuando Keynes no abordó directamente este asunto. En cualquier caso, lo que Keynes objetó fue la aparente ausencia de homogeneidad, esencialmente una preocupación de que el modelo en sí cambia con el tiempo. La solución de Keynes a esto fue dividir una serie de tiempo en submuestras para ver si se obtienen las mismas estimaciones de parámetros que se obtienen para toda la serie de tiempo. La homogeneidad no es estrictamente idéntica ni a la estacionariedad ni a la ergodicidad, pero es probable que en ese momento Tinbergen, siguiendo a Ehrenfest, supusiera probablemente que las tres eran válidas para los modelos que estimó. Por lo tanto, se asumió que la hipótesis ergódica era válida para estos primeros modelos econométricos, mientras que Keynes se mostró escéptico de que existiera una homogeneidad suficiente para suponer que se sabía lo que estaba haciendo el sistema a lo largo del tiempo (Rosser Jr.2016a).