Dinámica pesquera compleja

La clásica tragedia de los bienes comunes para la pesca fue planteada por primera vez por Gordon (1954), quienes lo identificaron incorrectamente como un problema de propiedad común, al tiempo que identificaron la sobreexplotación ineficiente que puede ocurrir en una pesquería de acceso abierto. Sin embargo, incluso cuando se gestiona de manera eficiente, las pesquerías pueden exhibir una dinámica compleja, particularmente cuando las tasas de descuento son suficientemente altas. Así como las especies pueden extinguirse bajo una gestión óptima cuando los agentes no valoran suficientemente las poblaciones futuras de la especie, lo mismo ocurre en las pesquerías, dado que las poblaciones futuras de peces se valoran cada vez menos, la gestión de la pesquería puede llegar a parecerse a una pesquería de acceso abierto. De hecho, en el límite, a medida que la tasa de descuento llega al infinito, momento en el que el futuro se valora en cero, la ordenación de la pesquería converge con la del caso de acceso abierto. Pero mucho antes de que se alcance ese límite,

Ahora presentaremos un modelo general basado en la optimización intertemporal para ver cómo pueden surgir estos resultados a medida que varían las tasas de descuento, siguiendo a Hommes y Barkley Rosser Jr (2001). 1 Comenzaremos considerando estados estables óptimos donde la cantidad de peces capturados es igual a la tasa de crecimiento natural de los peces dada por Schaeffer (1957) función de rendimiento.

\[h(x)=f(x)=r x(1-x / k)\]

donde las respectivas variables son las mismas que en el Cap. 2 : x es la biomasa de los peces, h es la captura, f ( x ) es la función de rendimiento biológico, r es la tasa natural de crecimiento de la población de peces sin restricciones de capacidad, yk es la capacidad de carga de la pesquería, el cantidad máxima de peces que pueden vivir en él en situación de no captura, que es también el equilibrio bionómico a largo plazo de la pesquería.

Especificamos más completamente el lado humano del sistema al introducir un coeficiente de capturabilidad, q , junto con el esfuerzo, E , para dar que la cosecha en estado estable, Y , también está dada por

\[h(x)=q E x=Y\]

Continuamos asumiendo un costo marginal constante, c , de modo que el costo total, C está dado por

\[C(E)=c E\]

Con p el precio del pescado, esto conduce a una renta, R , es decir

\[R(Y)=p q E x-C(E)\]

Hasta ahora esto ha sido un ejercicio estático, pero ahora pongamos esto más directamente en el marco de optimización intertemporal, asumiendo que la tasa de descuento en el tiempo es δ . Todas las ecuaciones anteriores ahora estarán indexadas en el tiempo por t, y también debemos permitir al menos en principio resultados de estado no estacionario. Por lo tanto

\[d x / d t=f(x)--h(x)\]

con h ( x ) ahora dado por ( 6.2 ) y no necesariamente igual af ( x ). Dejando que los costos unitarios de cosecha en diferentes momentos estén dados por c [ x ( t )], que será igual a c / qx , y con una constante δ > 0, el problema de control óptimo sobre h ( t ) mientras se sustituye en ( 6.5 ) se convierte en

\[\max \int_{0}^{\infty} e^{-\delta t}(p-c[x(t)])(f(x)--d x / d t) d t\]

sujeto ax ( t ) ≥ 0 y h ( t ) ≥ 0, observando que h ( t ) = f ( x ) - dx / dt en ( 6.6 ). La aplicación de las condiciones de Euler ′ da

\[f(x) / d t=\delta=\left[c^{\prime}(x) f(x)\right] /[p-c(x)]\]

A partir de esto, la curva óptima de oferta de pescado con descuento vendrá dada por

\[x(p, \delta)=k / 4\left\{1+(c / p q k)-(\delta / r)+\left[(1+(c / p q k)-(\delta / r))^{2}+(8 c \delta / p q k r)\right]^{1 / 2}\right\}\]

Todo este sistema se muestra en la Fig. 6.1 (Rosser Jr2001b, pag. 27) como el modelo de pesquería de Gordon-Schaefer-Clark.

Figura 6.1 Modelo de pesquería Gordon-Schaefer-Clark

El aspecto más dramático de este modelo es la curva de oferta que se dobla hacia atrás que surge, con Copes (1970) siendo el primero en explicar esta posibilidad para la pesca, fuertemente apoyado por Clark (1990). Se puede ver que un aumento gradual de la demanda en esta situación puede provocar un aumento repentino del precio y un colapso catastrófico de la producción.

Observamos que cuando δ = 0, la curva de oferta en el cuadrante superior derecho de la figura 6.1 no se dobla hacia atrás. Más bien se acercará asintóticamente a la línea vertical que viene del punto de rendimiento máximo sostenido en el punto más alejado a la derecha de la curva de rendimiento en el cuadrante inferior derecho. A medida que aumente δ, esta curva de oferta comenzará a doblarse hacia atrás y, de hecho, lo hará muy por debajo de δ = 2%. La curva hacia atrás continuará haciéndose más extrema hasta que en δ = ∞ la curva de oferta convergerá en la curva de oferta de acceso abierto de

\[x(p, \infty)=(r c / p q)(1-c / p q k) .\]

Debe quedar claro que la posibilidad de colapsos catastróficos aumentará a medida que esta curva de oferta se doble más hacia atrás y aumente la posibilidad de equilibrios múltiples, de modo que un aumento suave de la demanda puede conducir a un aumento catastrófico del precio y al colapso de la cantidad. Entonces, incluso si las personas se comportan de manera óptima, a medida que se vuelven más miopes, las posibilidades de resultados catastróficos aumentarán.

En cuanto a la naturaleza de la dinámica óptima, Hommes y Rosser Jr (2001) muestran que para las zonas en las que hay equilibrios múltiples en el caso de la curva de oferta que se dobla hacia atrás, hay aproximadamente tres zonas en términos de la naturaleza de los resultados óptimos. Con tasas de descuento suficientemente bajas, el resultado óptimo será simplemente el precio más bajo / la cantidad más alta de los dos resultados de equilibrio estable. A un nivel mucho más alto, el resultado óptimo será simplemente el precio más alto / la cantidad más baja de los dos equilibrios estables. Sin embargo, para las zonas intermedias, el resultado óptimo puede implicar un patrón complejo de rebote entre los dos equilibrios, con la posibilidad de que este patrón sea matemáticamente caótico. 2

Para estudiar su sistema, Hommes y Rosser Jr (2001) suponen una curva de demanda de la forma

\[D(p(t))=A-B p(t)\]

con la curva de oferta dada por ( 6.8 ). La compensación del mercado viene dada por

\[p(t)=[A-S(p(t), \delta] / B\]

Esto se puede convertir en un modelo de dinámica de ajuste de telaraña indexando la p en la función de oferta para que esté un período detrás de la p que se está determinando, con Chiarella (1988) y Matsumoto (1997) que muestra una dinámica caótica en modelos de telaraña generalizados.

Basándose en datos de Clark (1985, págs.25, 45, 48), Hommes y Barkley Rosser Jr (2001) asumió los siguientes valores para los parámetros: A = 5241, B = 0.28, r = 0.05, c = 5000, k = 400,000, q = 0.000014 (con el número para A proveniente de A = kr / ( c - c 2 / qk )). Para estos valores, encontraron que cuando δ subió de cero al principio, la solución era un equilibrio de precios bajos, pero comenzando alrededor de δ = 2% comenzaron a aparecer bifurcaciones que duplicaban el período, con una dinámica caótica en toda regla que aparecía alrededor de δ = 8%. Cuando δ subió por encima del 10% aproximadamente, el sistema pasó al equilibrio de precios altos.