Modelado de la dinámica de distribución de la riqueza y la renta mediante la mecánica estadística

Al estudiar la dinámica de distribución de la riqueza y el ingreso, encontramos que la relación entre las distribuciones de la ley de potencias no basadas en la entropía y las distribuciones de la ley de potencias juega un papel central en el modelado de estos sistemas dinámicos. En particular, parece cada vez más que, si bien la dinámica de la riqueza refleja en gran medida las distribuciones de la ley de poder, la dinámica de distribución del ingreso puede ser una combinación, con distribuciones de Boltzmann-Gibbs relacionadas con la entropía que explican mejor la distribución del ingreso para el 97-98 por ciento más pobre, mientras que una distribución de la ley de poder de Pareto puede funcionar mejor para el nivel superior de ingresos, donde la dinámica de la riqueza puede desempeñar un papel más importante (Drăgulescu y Yakovenko2001; Yakovenko y Rosser Jr.2009).

La conciencia de la posibilidad de utilizar ideas de entropía en la medición de la distribución del ingreso comenzó cuando los economistas buscaban generalizaciones de las diversas medidas en competencia que se han utilizado para estudiar la distribución del ingreso. Así, en 1981, Cowell y Kugal (1981) buscó una formulación axiomática generalizada para medidas aditivas de distribución del ingreso. Descubrieron que al agregar dos axiomas al enfoque habitual, pudieron demostrar que un enfoque de entropía generalizada podría subsumir la medida de Atkinson ampliamente estudiada (1970) y la medida de Theil (Bourguignon 1979). Si bien la medida de Atkinson se ha utilizado más ampliamente y es capaz de distinguir la asimetría de las colas, la de Theil puede tener más generalidad. Bourguignon1979) muestra que es la única medida de desigualdad descomponible “ponderada por ingresos” que es homogénea en cero. Cowell y Kugal (1981) muestran que al agregar un axioma de sensibilidad a los demás, el índice de Theil es el único que se puede derivar de un concepto de entropía generalizado.

Estas primeras discusiones también involucraron fuertes reclamos con respecto a las dificultades de vincular las medidas de entropía con las distribuciones de la ley de potencia, reclamos que ahora parecen exagerados hasta cierto punto. Así encontramos a Montroll y Schlesinger (1983, pag. 209) alegando que:

“La derivación de distribuciones con colas de potencia inversa a partir del formalismo de máxima entropía sería una consecuencia sólo de una condición auxiliar no convencional que implica la especificación del promedio de una función logarítmica complicada.”

Esta afirmación puede ser exagerada, aunque de hecho las funciones logarítmicas están involucradas en la relación entre las dos, lo que no es sorprendente dado que las medidas de entropía son esencialmente logarítmicas.

El enfoque de distribución de la ley de poder domina la discusión de la dinámica de distribución de la riqueza, al igual que la dinámica de los mercados financieros. El padre de este enfoque fue Vilfredo Pareto (1897), quien inicialmente se formó como ingeniero, pero luego se convirtió en socio-economista ya que su teoría involucraba la relación entre clases sociales a lo largo del tiempo. Muy apropiadamente, la motivación original y el enfoque de estudio de Pareto fue, de hecho, la distribución del ingreso. Afirmó una verdad universal asociada con un parámetro de distribución de ingresos estimado. Estaba equivocado, especialmente dado que su teoría se ajusta a mejores distribuciones de riqueza en lugar de distribuciones de ingresos, como se señaló anteriormente. Pareto argumentó incorrectamente que su coeficiente supuestamente universal para la explicación de la ley de poder de la distribución del ingreso encajaba en su teoría de la “circulación de las élites,” en la que no se podía hacer nada para igualar el ingreso porque el proceso político simplemente implicaría sustituir una élite de poder por otro sin cambios apreciables en la distribución del ingreso. Pero debemos reconocer que formuló este punto de vista a fines del siglo XIX, cuando no había habido un siglo de cambios importantes en la estructura socioeconómica en ninguna parte. No hace falta decir que no mucho después hubo grandes cambios en la distribución (Piketty2014), incluso cuando su método pasó a ser “subterráneo,” solo para ser revivido para otros usos, como describir distribuciones de tamaño metropolitano urbano (Auerbach 1913).

La preocupación moderna por la distribución del ingreso basada en los conceptos de la física de la ley de potencia de Pareto se debió a un sociólogo, John Angle (1986). Después de la aparición de la economía actual, muchos dieron un paso adelante para aplicar las distribuciones de la ley de potencia para estudiar la dinámica de las distribuciones de riqueza. Basándose en el trabajo de Pareto, quien pensó erróneamente que había encontrado un coeficiente universal para la distribución del ingreso, los economistas encontraron que las distribuciones actuales de la riqueza se ajustan al punto de vista de la ley de poder de Pareto (Bouchaud y Mézard2000; Chakraborti y Chakrabarti2000; Salomón y Richmond2002).

En este punto, es necesario considerar la cuestión de si estamos tratando con modelos ontológicos en contraposición a modelos “meramente” metafóricos en estos asuntos. Sabemos que existen tendencias estocásticas para la dinámica de la riqueza y la renta, pero no es del todo obvio que los diversos imperativos aparentes para la maximización o minimización de la entropía estén realmente impulsando los resultados. Sin embargo, muchos que estudian estos temas ven procesos termodinámicos subyacentes a las tendencias básicas de la dinámica de distribución de la riqueza y el ingreso. Estos procesos no son tan directos como la dirección ontológica basada en las máquinas de vapor de Carnot, pero derivan de tendencias más amplias de la dinámica de distribución de la riqueza y el ingreso que ocurren en ausencia de cambios sustanciales en las políticas públicas con respecto a las políticas distributivas.

Pareto se equivocó en su propuesta original. Pensó que había encontrado una ley universal de distribución del ingreso que encajaba con su teoría de la “circulación de las élites,” dentro de la cual no importaba qué grupo de élite gobernara la sociedad, la distribución subyacente del ingreso no cambiaría. Él estaba equivocado. El legado de su enfoque ha estado en el estudio de las distribuciones de riqueza, donde ahora se entiende que su presentación de las leyes de poder explica las distribuciones de riqueza en lugar de las distribuciones de ingresos.

La distribución de Pareto viene dada por:

\[N=A / x^{\alpha}\]

donde N es el número de observaciones por encima de x , y A y α son constantes. Esto incluye como casos especiales una amplia variedad de otras formas que subyacen a muchos modelos económicos. El caso especial cuando α = 1 conduce a la “Ley de Zipf,” (Zipf1941), ampliamente visto para describir la distribución del tamaño urbano, así como muchos otros, aunque hasta qué punto se aplica esta “ley” es un tema de debate continuo.

Yakovenko y Rosser Jr. (2009) presentan un análisis de distribución de ingresos unificado que combina una formulación entrópica de Boltzmann-Gibbs para la distribución de ingresos más bajos con una distribución de la ley de potencia Paretiana para los niveles más altos de ingresos. El modelo hace una suposición heroica de conservación del dinero o los ingresos o la riqueza, lo que empíricamente no es irrazonable para los Estados Unidos desde mediados de la década de 1970 para los niveles medios, incluso cuando los estratos superiores han experimentado niveles crecientes. Pero esto encaja con la combinación de un modelo entrópico logarítmico normal para la mayoría de la población con respecto al ingreso, incluso cuando el nivel superior de la distribución del ingreso parece seguir una dinámica de riqueza siguiendo una distribución de la ley de poder Paretiana.

Suponiendo una conservación del dinero, m , la distribución de equilibrio de Boltzmann-Gibbs de base entrópica está dada por la probabilidad, P , de que el nivel sea m , dada por:

\[P(m)=c e^{-m / T_{m}}\]

donde c es una constante de normalización y T m es la “temperatura del dinero” en términos termodinámicos, que es igual a la oferta monetaria per cápita. Esto describe la porción más baja de la distribución del ingreso. Suponiendo una tasa fija de transferencias monetarias proporcionales con esto igual a γ, la distribución estacionaria del dinero (ingreso) está relacionada con la forma de distribución Gamma que se diferencia de la de Boltzmann-Gibbs por tener un prefactor de ley de potencia, m β , donde

\[\beta=-1--\ln 2 / \ln (1--\gamma)\]

Esto relaciona la forma de Boltzmann-Gibbs con una ley de potencia equivalente más simplemente de lo que suponen Montroll y Schlesinger (1983). Esta formulación que muestra la conexión entre las dos conceptualizaciones de la distribución de la riqueza y la renta viene dada por:

\[P(m)=c m^{\beta} e^{-m / T}\]

Esto representa la distribución estacionaria, pero permitir que m crezca estocásticamente desconecta el resultado de la solución de máxima entropía (Huang2004). La distribución estacionaria en estas condiciones se convierte en un caso de campo medio gobernado por una ecuación de Fokker-Planck, que no es ni Boltzmann-Gibbs ni Gamma, pero es una versión de una distribución Lotka-Volterra generalizada, con w la riqueza por persona, J es la transferencia promedio entre agentes, y σ es la desviación estándar, y es

\[P(w)=c\left[\left(e^{-J / \sigma \sigma w}\right) /\left(w^{2+J / \sigma \sigma}\right)\right]\]

Por lo tanto, es posible combinar una formulación entrópica de Boltzmann-Gibbs para la parte inferior de la distribución del ingreso con una forma de ley de potencia para su extremo superior, que corresponde a la formulación de la dinámica de la riqueza que se deriva irónicamente de Pareto, dado que originalmente pensó que su conceptualización era una ley universal de distribución del ingreso. Su formulación sería contrarrestada poco después por Bachelier (1900), pero ahora vemos los dos juntos para proporcionar una explicación empírica de la distribución del ingreso que tiene profundas raíces en las formulaciones económicas marxistas y otras clásicas con respecto a la dinámica de clase socioeconómica (Cockshott et al. 2009; Shaikh2016; Shaikh y Jacobo2020).

La Figura 4.1 muestra una distribución de este tipo en su forma logarítmica para la distribución del ingreso de EE. UU. En 1997, con la porción de Boltzmann-Gibbs, que cubre el 97 por ciento inferior de la distribución del ingreso, siendo no lineal en el lado izquierdo, mientras que la porción paretiana es lineal en registros en el lado derecho que cubren el 3 por ciento superior de la distribución del ingreso (Yakovenko2013, Figura 5).

Figura 4.1 Distribución log-log del ingreso de Estados Unidos, secciones de Boltzmann-Gibbs y Pareto, 1997, de Yakovenko ( 2013 , Fig.5)