El papel de la distribución de Pareto

Si hay un solo tema que une a los economistas es la insistencia en que muchos fenómenos económicos ocurren de acuerdo con distribuciones que obedecen a leyes de escala más que a la normalidad gaussiana. Ya sean simétricas o sesgadas, las colas son más gruesas o más largas de lo que serían si fueran gaussianas, y parecen ser lineales en las cifras con el logaritmo de una variable representado frente a su distribución de probabilidad acumulada. Buscan procesos físicos, con mayor frecuencia a partir de la mecánica estadística, que puedan generar estas distribuciones no gaussianas que obedezcan las leyes de escala.

La versión canónica (y original) de tal distribución fue descubierta por el economista y sociólogo matemático Vilfredo Pareto, en 1897. Sea N el número de observaciones de una variable que exceden un valor x con A y α constantes positivas. Luego

\[N=A x^{-\alpha}\]

Esto exhibe la propiedad de escala en que

\[\ln (N)=\ln A-\alpha \ln (x)\]

Esto se puede generalizar a una forma estocástica más clara reemplazando N con la probabilidad de que una observación exceda x . Pareto formuló esto para explicar la distribución del ingreso y la riqueza y creía que había un valor universalmente verdadero para α que equivalía a aproximadamente 1,5. Estudios más recientes (Clementi y Gallegati2005) sugieren que son solo los extremos superiores de la distribución de la renta y la riqueza los que siguen a tal propiedad de escala, con los extremos inferiores siguiendo la forma logarítmica normal de la distribución gaussiana que se asocia con el paseo aleatorio, originalmente argumentado para la totalidad de la distribución de la renta por Gibrat (1931), un punto más estudiado por Yakovenko y Rosser Jr (2009), Shaikh (2016), y Shaikh y Jacobo (2020).

El paseo aleatorio y su distribución logarítmica normal asociada es el gran rival de la distribución de Pareto y sus parientes en la explicación de los fenómenos económicos estocásticos. Solo unos años después de que Pareto hiciera su trabajo, se descubrió la caminata aleatoria en un doctorado. tesis sobre mercados especulativos del matemático Louis Bachelier (1900), cinco años antes de que Einstein lo usara para modelar el movimiento browniano, su primer uso en física (Einstein 1905). Aunque la distribución de Pareto tendría sus defensores para explicar la dinámica de precios estocástica (Mandelbrot1963), la caminata aleatoria se convertiría en el modelo estándar para explicar la dinámica de los precios de los activos durante muchas décadas, aunque serían los rendimientos de los activos los que se modelarían en lugar de los precios de los activos directamente como lo hizo Bachelier originalmente. Como ironía adicional, fue un físico, MFM Osborne (1959), quien fue uno de los defensores influyentes del uso de la caminata aleatoria para modelar los rendimientos de los activos. Se suponía que era el paseo aleatorio gaussiano el que subyacía a la dinámica de los precios de los activos cuando se desarrollaban conceptos básicos de economía financiera como la fórmula de Black-Scholes (Black y Scholes1973). Si p es el precio, R es el rendimiento debido a un aumento de precio, B es la deuda y σ es la desviación estándar de la distribución gaussiana, Osborne caracterizó el proceso dinámico de precios por

\[\mathrm{d} p=R p \mathrm{~d} t+\sigma p \mathrm{~d} B\]

Mientras tanto, físicos, matemáticos y economistas realizaron una variedad de esfuerzos durante mucho tiempo para modelar una variedad de fenómenos usando la distribución de Pareto o una de sus parientes o generalizaciones, como el Lévy estable (1925) distribución, antes de la clara aparición de la econofísica. Alfred J. Lotka (1926) vio los descubrimientos científicos siguiendo este patrón. George Zipf (1941) vería los tamaños de las ciudades como si lo hicieran. Benoit Mandelbrot (1963) vio los precios del algodón hacerlo y se inspiró para descubrir la geometría fractal al estudiar las matemáticas de la propiedad de escala (Mandelbrot 1963, 1997). Ijiri y Simon (1977) vieron los tamaños de las firmas también siguiendo este patrón, un resultado confirmado más recientemente por Axtell (2001).